四環(huán)凍干機—真空冷凍干燥傳熱傳質(zhì)原理（六）

以往的研究大都是研究宏觀(guān)參數，如壓力、溫度和物料的宏觀(guān)尺寸等對凍干過(guò)程熱傳遞的影響，物料微觀(guān)結構的影響忽略不計或被簡(jiǎn)化，因此，只是對于均質(zhì)的液態(tài)物料和結構單一固態(tài)物料比較適用。對于一般生物材料,凍干過(guò)程已干層多孔介質(zhì)實(shí)際上不是均勻的，而是具有分形的特點(diǎn)。然而分形多孔介質(zhì)中的擴散已不再滿(mǎn)足歐式空間的Fick定律，擴散速率較歐式空間減慢了，擴散系數不是常數，與擴散距離還有關(guān)。已干層分形特征如何確定，以及怎么影響凍干過(guò)程熱質(zhì)傳遞，都是有待研究的問(wèn)題。

從考慮生物材料的微觀(guān)結構出發(fā)，根據已干層的顯微照片分析生物材料已干層多孔介質(zhì)的分形特性，確定已干層多孔介質(zhì)的分形維數和譜維數，推導分形多孔介質(zhì)中氣體擴散方程，然后在1998年Sheehan和Liapis提出的非穩態(tài)軸對稱(chēng)模型的基礎上建立了考慮了已干層的分形特點(diǎn)的生物材料凍干過(guò)程熱質(zhì)傳遞的模型，即惰性氣體和水蒸氣在已干層中的連續方程采用的是分形多孔介質(zhì)中的擴散方程，擴散系數隨已干層厚度的增加呈指數下降。為了驗證模型的正確性，以螺旋藻為研究對象，用Jacquin等的方法根據螺旋藻已干層的顯微照片確定螺旋藻已干層分形維數，用張東暉等人的方法求分形多孔介質(zhì)的譜維數。模型的求解借助Matlab和Fluent軟件，模擬了螺旋藻的凍干過(guò)程。

 2.2.3.1分型多孔介質(zhì)中氣體擴散方程的推導

通常流體的擴散滿(mǎn)足Fick定律，固相中的擴散也常常沿襲流體擴散過(guò)程的處理方法。如果氣體的分子直徑自由程遠大于微孔直徑，則分子對孔壁的碰撞要比分子之間的相互碰撞頻繁得多。其微孔內的擴散阻力主要來(lái)自分子對孔壁的碰撞，這就是克努森擴散，傳統的凍干模型已干層中水蒸氣和惰性氣體的擴散都是按傳統的歐氏空間的克努森擴散處理的，但對于生物材料已干層中的孔隙一般都具有分形的特征，使氣體在其中的擴散也具有分形的特點(diǎn)，下面從確定已干層分形特征入手，來(lái)推導已干層分形多孔介質(zhì)中的氣體擴散方程。

 2.2.3.2已干層多孔介質(zhì)結構特性

生物材料凍干過(guò)程已干層多孔介質(zhì)的結構特性是影響凍干過(guò)程傳熱傳質(zhì)的很重要的一個(gè)因素。當孔隙具有分形特點(diǎn)時(shí), 多孔介質(zhì)中的熱質(zhì)傳遞不僅與為孔隙率有關(guān), 還與孔隙的大小和排列有關(guān)，與孔隙的分形維數和譜維數有關(guān)。

（1）孔隙率的確定  與計算機所產(chǎn)生的圖像不同，實(shí)驗圖噪聲比較大，不便于直接利用軟件對圖像進(jìn)行數字處理。在分析圖像之前，需要恰當地處理圖像，目的就是減少噪聲，使圖像主要信息表達更加清楚。利用 Matlab 圖像處理把彩色圖像轉換為黑白圖像（二值圖)時(shí)，要給出黑與白的分界值， 即像素的顏色閾值，低于閾值的像素定義為白色，代表孔隙，否則為黑色，代表固體物料。轉化工具為Mat-lab的im2bw命令。

圖2-18為螺旋藻已干層顯微照片，當顏色閾值取0.35時(shí)，圖2-18對應的二值圖如圖2-19所示，考慮到在顯微鏡下觀(guān)測螺旋藻已干層結構時(shí)有一定的厚度，固體物料有重疊，為了使處理的圖像更接近實(shí)際結構，這里閾值取偏小值0.35。在Matlab中二值圖是用1和0的邏輯矩陣存儲的，0為黑, 1為白，且很容易對矩陣進(jìn)行各種運算。通過(guò)統計矩 0和1的數可得螺旋藻已干層孔隙率為0.83。

(2)分形維數的確定   多孔介質(zhì)孔隙分形維數的計算用常規的盒子法，即用等分的正方形網(wǎng)格覆蓋所讀人的圖像，網(wǎng)格單元的尺度為r。然后檢測每個(gè)網(wǎng)格單元中0和1的值，統計標記為1的單元數N(r)。N(r)和1/r分別取成對數后，在以lnN(r)為Y軸坐標，以In(l/r)為X軸的坐標上產(chǎn)生一個(gè)點(diǎn)，從兩個(gè)像素開(kāi)始，以一個(gè)像素為步長(cháng)逐步增加，對應每一個(gè)r值，重復上述過(guò)程，得到一系列這樣的點(diǎn)，再根據這些點(diǎn)擬合成一直線(xiàn)，其斜率即為分形維數。為了減小計算量，取圖2-18—小部分進(jìn)行計算,選中的小圖對應的二值圖2-19所示。按這種方法計算的圖2-20的所示多孔介質(zhì)的分形維數的結果見(jiàn)圖2-21,圖中離散點(diǎn)用上述方法得到, 計算中,覆蓋網(wǎng)格分別取5X5～14X14。回歸直線(xiàn)方程為

相關(guān)系數為0.99628，其斜率即孔隙分形維數d_f= l. 722。

(3)譜維數的確定 Anderson等通過(guò)分形網(wǎng)格的模擬，得到時(shí)間t內，物質(zhì)粒子所訪(fǎng)問(wèn)過(guò)的不同格子數Din(t)與譜維數d存在下述關(guān)系：

根據此式，就可以計算得到分形結構的譜維數d。具體過(guò)程為從分形結構中某一孔隙格子處發(fā)出一個(gè)物質(zhì)粒子，物質(zhì)粒子在分形結構中的孔隙中各自隨機行走，計算時(shí)采用近似的螞蟻行走模型。如果行走到的格子以前沒(méi)有訪(fǎng)問(wèn)過(guò)，那么就在獨立訪(fǎng)問(wèn)過(guò)的格子數總和中加1[Din(t)=Din(t)+1]; 如果行走到的格子以前訪(fǎng)問(wèn)過(guò)，那么就在訪(fǎng)問(wèn)過(guò)的格子數總和中加 1(Null=Null+1)；如果行走碰到分形結構的邊界，那么行走終止，再在上面初始處發(fā)出一個(gè)物質(zhì)粒子，由于是隨機行走，此粒子的行走軌跡與剛才是不同的，最后對某時(shí)刻Din(t)求平均值，得到一組[Din(t),t]對應值，取對數坐標，可以看到兩者是直線(xiàn)關(guān)系，由式(2-91)可知，直線(xiàn)的斜率就是d/2。譜維數與孔隙分形維數有很大關(guān)聯(lián)，孔隙分形維數越小，意味著(zhù)分形結構中孔隙的比例少，相同時(shí)間內，粒子行走越狹窄，重復過(guò)的彎路越多，其所經(jīng)過(guò)的不同格子數越少，那么譜維數也就相應小一些。對于孔隙分形維數相同的分形結構，如果孔隙分布排列不一樣，兩者之間的譜維數值一定也會(huì )有差別。

從圖2-20分形多孔介質(zhì)中孔隙部分任取一點(diǎn)，依次發(fā)出1000個(gè)物質(zhì)粒子，覆蓋網(wǎng)格重40x40,由上面的測定方法統計計算的結果見(jiàn)圖2-22中的離散點(diǎn)，回歸直線(xiàn)方程為：

直線(xiàn)斜率為0.67405，從而可得孔隙的譜維數d=1.348。

2.2.3.3分型多孔介質(zhì)中的擴散系數

擴散系數的實(shí)質(zhì)是單位時(shí)間粒子所傳輸的空間，在普通擴散過(guò)程中，隨機行走的平均平方距離與時(shí)間成正比的關(guān)系：

式中，<r²(t)>為隨機行走的平均平方距離。在分形多孔介質(zhì)中，由張東暉等人的研究可知，平均平方距離和時(shí)間存在指數關(guān)系，

α被稱(chēng)為與分形布朗運動(dòng)相關(guān)聯(lián)的行走維數，Orbach等發(fā)現

由此也可看到：譜維數是分形介質(zhì)靜態(tài)結構和動(dòng)態(tài)特性的一個(gè)中間橋梁。

在處理具有分形特征介質(zhì)的擴散系數時(shí)，一般都是在普通的擴散系數上加上分形特征的修正，由張東暉等人的模擬結果可知，分形多孔介質(zhì)中的擴散系數已不是常數，而是隨徑向距離的增大而呈指數下降：

式中，D。為歐氏空間的擴散系數；D_df為分形結構中的擴散系數；r為擴散的距離；θ為分形指數，與多孔介質(zhì)分形維數d_f和譜維數d有關(guān)，由張東暉等人的推導可知θ=2(d_f-d)/d。這實(shí)際表明：在分形結構中隨著(zhù)擴散徑向距離的增大，擴散變得越來(lái)越困難，這是由于分形結構孔隙分布的不均勻性造成的。