四環(huán)凍干機—真空冷凍干燥傳熱傳質(zhì)原理（七）

通常流體的擴散滿(mǎn)足Fick定律，固相中的擴散也常常沿襲出流體擴散過(guò)程的處理方法。但分形多孔介質(zhì)中非均勻孔隙的復雜性，若仍沿用傳統方法描述，將與實(shí)際情況相差太大。

根據文獻可知，若用ρ(r，t)表示擴散概率密度，在d維歐氏空間的一般擴散方程具有如下形式:

若用M(r，t)表示時(shí)刻t，在r + dr之間的球殼中的擴散概率，用N(r，t)表示總的徑向概率，也表示單位時(shí)間流過(guò)的物質(zhì)流量，即通量。則概率守恒的連續方程可寫(xiě)為：

在分形介質(zhì)中:

根據Fick擴散定律，在d維歐氏空間中，物質(zhì)流與概率流之間滿(mǎn)足如下關(guān)系：

把式(2-100)中擴散系數D₀用分形介質(zhì)中的擴散系數代替！D_df(r)，空間維數d用分形維數代替，從而給出了分形介質(zhì)中質(zhì)量流量與概率密度之間類(lèi)似的關(guān)系式：

把式(2-98)和式(2-100a)代人式(2-97)中，可得分形介質(zhì)中的擴散方程:

比較式(2-97)和式(2-101)，可以看出，分形介質(zhì)中擴散方程和歐式空間擴散方程的區別在于，空間維數d用分形維數代替，擴散系數用分形多孔介質(zhì)中的擴散系數，由于分形介質(zhì)中的擴散系數不是常數，與擴散距離有關(guān)，擴散系數不能提到偏微分號外邊。

把式(2-96)代人式(2-101)中，可得分形多孔介質(zhì)中的擴散方程為:

 2.2.3.5凍干模型的建立

模擬螺旋藻在如圖2-23所示的小盤(pán)中的凍干過(guò)程，在建立熱質(zhì)耦合平衡方程時(shí)做了如下假設：

① 升華界面厚度被認為是無(wú)窮??；

② 假設只有水蒸氣和惰性氣體兩種混合物流過(guò)已干層；

③ 在升華界面處，水蒸氣的分壓和冰相平衡；

④ 在已干層中氣相和固相處于熱平衡狀態(tài)，且分形對傳熱的影響忽略不計；

⑤ 凍結區被認為是均質(zhì)的，熱導率、密度、比熱容均為常數，溶解氣體忽略不計；

⑥ 物料尺寸的變化忽略不計。

下面所建的數學(xué)模型是在1998年Sheehan 建立的二維軸對稱(chēng)模型基礎上建立的，只是水蒸氣和惰性氣體的質(zhì)量流量根據分形多孔介質(zhì)中的擴散方程進(jìn)行修改，在修改的過(guò)程中將擴散系數改為分形多孔介質(zhì)中的擴散系數,考慮到若將歐式空間的維數改為分形維數，方程的求解太困難，因為螺旋藻已干層分形維數為d_f= 1.7222，比較接近2， 所以仍沿用歐式空間的維數2，沒(méi)做修改。

(1)主干燥階段數學(xué)模型

   ①傳質(zhì)方程。已干層分形多孔介質(zhì)中的傳質(zhì)連續方程如下：

其中

 ②傳熱方程。主干燥階段已干層中熱質(zhì)耦合的能量平衡方程，其中傳質(zhì)相與分形指數有關(guān)：

凍結層中能量平衡方程：

(2)升華界面的軌跡   升華界面的移動(dòng)根據升華界面處的熱質(zhì)耦合能量平衡的條件確定， 能量平衡條件為：

其中

(3)二次干燥階段數學(xué)模型  傳熱能量平衡和傳質(zhì)連續方程：

結合水的移除用方程(2-115)表示：

 2.2.3.6初始條件和邊界條件

(1)主干燥階段初始條件和邊界條件也就是方程(2-103)～方程(2-109)的初始條件和邊界條件。

①初始條件。當t=0時(shí)，

②邊界條件。當t>0時(shí)：

a.已干層（I區）的溫度：

q1為來(lái)自已干層頂部的熱量

q3為來(lái)自瓶壁的熱，通過(guò)下式確定：

b.凍結層（Ⅱ區）的溫度：

q2為來(lái)自擱板的熱量:

c.已干層中水蒸氣和惰性氣體的分壓(I區)：

(2)二次干燥階段初始條件和邊界條件 也就是式(2-60)～式(2-63)的初始條件和邊界條件。

①初始條件。式(2-112)～式(2-115) 的初始條件是主干燥階段結束時(shí)的條件，即t=t_z=z(t,r)=L時(shí)表示移動(dòng)界面消失時(shí)的條件，通常情況也代表二次階段的開(kāi)始。

②邊界條件。當t≥tz=z(t,r)=L時(shí),

q1為來(lái)自已干層頂部的熱量：

q2為來(lái)自擱板的熱量：

熱流q3為來(lái)自瓶壁的熱，通過(guò)下式確定:

已干層中水蒸氣和性氣體的分壓: